Question

已知圆C的一般方程为：x²+y²-2x+2y-2=0
（1）过点P（3，4）作圆C的切线，求切线方程；
（2）直线l在x，y轴上的截距相等，且l与圆C交于A，B两点，弦长|AB|=2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）把圆C的一般方程化成标准方程，分当斜率k不存在时和当斜率k存在时两种情况，分别根据圆心到直线的距离等于半径，求出圆的方程，综合可得结论．
（2）由题意可得，弦心距d=1，再分直线经过原点和直线不经过原点两种情况，利用点到直线的距离公式求得截距a的值，可得直线l的方程．

解答： 解：（1）圆C的一般方程为：x²+y²-2x+2y-2=0化成标准方程为：（x-1）²+（y+1）²=4．
当斜率k不存在时，圆的切线的方程为x=3．
当斜率k存在时，设切线的方程为：y-4=k（x-3），化成一般式为kx-y+4-3k=0，
圆心（1，-1）到直线kx-y+4-3k=0的距离为d=

|5-2k|

k2+1

=r=2，解得，k=

21

20

．
所以直线l的方程为：21x-20y+17=0．
综上得：直线l的方程为：x=3或21x-20y+17=0．
（2）当直线过原点时，设直线的方程为：y=kx，化成一般式为：kx-y=0．
∵弦长|AB|=2

3

，所以圆心（1，-1）到kx-y=0的距离d=1，则d=

|k+1|

k2+1

=1，
解得k=0，所以直线方程为：y=0（舍去）．
当直线不过原点时，设直线的方程为：

x

a

+

y

a

=1，化成一般式为：x+y-a=0，
所以，d=

|a|

2

=1，解得：a=±

2

，所以直线l方程为：x+y±

2

=0．
综上得：直线l的方程为：x+y±

2

=0．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．