Question

已知

i

，

j

分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，

OA1

=

j

，

OA2

=10

j

，且

An-1An

=3

AnAn+1

（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上从下到上有点B_i（i=1，2，3，…），

OB1

=3

i

+3

j

，且|

Bn-1Bn

|=2

2

（n=2，3，4，…）．
（1）求A₄A₅；          
（2）求

OAn

与

OBn

的表达式；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n（n=1，2，3，4，…）面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（1）由题意|

An-1An

|=3|

AnAn+1

|是等比关系，根据等比数列公式求出通项，从而求得结果；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为A_n的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，即可得出B_n的坐标；
（3）根据四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积和，即可求出面积的表达式，再作差S_n-S_n-1，确定其单调性，从而求出最大值．

解答： 解：（1）∵

An-1An

=3

AnAn+1

，
∴

AnAn+1

=

1

3

An-1An

；
∴

A4A5

=

1

3

A3A4

=(

1

3

)2

A2A3

=(

1

3

)3

A1A2

=

1

27

（

OA2

-

OA1

）=

1

27

×（10

j

-

j

）=

1

3

j

；
（2）由（1）知，

AnAn+1

=(

1

3

)n-1

A1A2

=(

1

3

)n-3

j

，
∴

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

j

+9

j

+3

j

+…+(

1

3

)n-3
=

j

+

9[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

j

=

29-( 1 3 )n-4

2

j

；
又∵|

Bn-1Bn

|=2

2

，且B_n-1、B_n均在射线y=x（x≥0）上，
∴

Bn-1Bn

=2

i

+2

j

；
∴

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=
3

i

+3

j

+（n-1）（2

i

+2

j

）；
（3）∵|

AnAn+1

|=(

1

3

)n-3，
∴△A_nA_n+1B_n+1的底面边

AnAn+1

的上高为h₁=2n+3，
又∵|

BnBn+1

|=2

2

，
∴A_n（0，

29-( 1 3 )n-4

2

）到直线y=x的距离是h₂=

29-( 1 3 )n-4

2 2

；
∴S_n=

1

2

•（2n+3）•(

1

3

)n-3
=

1

2

×2

2

×

29-( 1 3 )n-4

2 2

=

29

2

+

n

2n-3

，
而S_n-S_n-1=

n

3n-3

-

n-1

3n-4

＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…；
∴S_max=S₁=

29

2

+(

1

3

)-2=

29

2

+9=

47

2

．

点评：本题考查了等比数列与平面向量的综合应用问题，解题时需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法，是较难的综合题目．