Question

1．已知f（x）是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f（x₀）＞x₀，则f[f（x₀）]＞x₀；②若f[f（x₀）]＞x₀，则f（x₀）＞x₀；③若f（x）是奇函数，则f[f（x）]也是奇函数；④若f（x）是奇函数，则f（x₁）+f（x₂）=0?x₁+x₂=0，其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①，由f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x₀）＞x₀，则f[f（x₀）]＞f（x₀）＞x₀，；
②，若f（x₀）≤x₀，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x₀）]≤f（x₀）≤x₀与已知矛盾；
③，由奇函数的性质及判定得f[f（-x）]=f[-f（x）]=-f[f（-x）]，即可判定；
④，若f（x₁）+f（x₂）=0，则f（x₁）=-f（x₂）⇒x₁=-x₂⇒x₁+x₂=0；若x₁+x₂=0⇒x₁=-x₂⇒f（x₁）=f（-x₂）=-f（x₂）⇒f（x₁）+f（x₂）=0

解答 解：对于①，∵f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x₀）＞x₀，则f[f（x₀）]＞f（x₀）＞x₀，故①正确；
对于②，当f[f（x₀）]＞x₀时，若f（x₀）≤x₀，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x₀）]≤f（x₀）≤x₀与已知矛盾，故②正确；
对于③，若f（x）是奇函数，则f[f（-x）]=f[-f（x）]=-f[f（-x）]，∴f[f（x）]也是奇函数，故③正确；
对于④，当f（x）是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f（x₁）+f（x₂）=0，则f（x₁）=-f（x₂）⇒x₁=-x₂⇒x₁+x₂=0；
若x₁+x₂=0⇒x₁=-x₂⇒f（x₁）=f（-x₂）=-f（x₂）⇒f（x₁）+f（x₂）=0，故④正确；
故选：A

点评 本题考查了命题真假的判断，考查了函数的概念、性质，属于中档题．