Question

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出144件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出8件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”，求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数．
（Ⅱ）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而求出f（x）达到极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．

解答： 解：（Ⅰ）设商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为kx²，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意有f（x）=（30-x-9）（144+kx²）=（21-x）（144+kx²），
又由已知条件，8=k•2²，于是有k=2，
∴f（x）=-2x³+42x²-144x+3024，x∈[0，30]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

f^(x)=-6x2+84x-144=-6(x2-14x+24) =-6(x-2)(x-12)，x∈[0，30]

当x变化时，f'（x）与f（x）的变化如下表：…7分

x	[0，2）	2	2a2- 1 16 ＜0	12	（12，30]
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	极小	↗	极大	↘

…10 分
故x=12时，f（x）达到极大值．因为f（0）=3024，f（12）=3888，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．…13 分

点评：本题考查函数表达式的求法，考查商品销售利润最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．