Question

设函数f（x）=e^x（x²-ax+b），a，b∈R，其中e自然对数的底．
（Ⅰ）当a=4时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-

3

2

，+∞）上有两个相距为

7

的极值点，求关于a的函数y=f（a-2）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=4时，f′（x）=e^x（x²-2x+b-4）=e^x[（x-1）²+b-5]，由此利用导数性质能求出f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）设f（x）在区间[-

3

2

，+∞）上的两个相距为

7

的极值点为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=

7

，由此利用导数性质结合已知条件能求出a=5，b=

11

2

时，取到最小值-

1

2

e3．

解答： 解：（Ⅰ）当a=4时，f′（x）=e^x（x²-2x+b-4）=e^x[（x-1）²+b-5]，
∴当b≥5时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当b＜5时，f（x）的单调递增区间为（-∞，1-

5-b

]，[1+

5-b

，+∞）．
（Ⅱ）设f（x）在区间[-

3

2

，+∞）上的两个相距为

7

的极值点为x₁，x₂，
则|x₁-x₂|=

7

，…（7分）
∵f′（x）=e^x•[x²-（a-2）x+b-a]，
∴x₁，x₂是方程x²-（a-2）x+b-a=0的两实根，
∴

△＞0 x1+x2=a-2 x1x2=b-a

，…（9分）
∴a=x₁+x₂+2，b=x₁•x₂+x₁+x₂+2，
∴f（a-2）=f（x₁+x₂）=ex1+x2[（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）（x₁+x₂+2）+x₁x₂+x₁+x₂+2]
=

1

4

ex1+x2[(x1+x2)2-4(x1+x2)+1]，
令t=x₁+x₂，g（t）=

1

4

et(t2-4t+1)，
在（Ⅰ）中，令b=1及t=x₁+x₂≥-3+

7

＞-1，知g（t）_min=g（3）=-

1

2

e3．
∴y=f（a-2）_min=-

1

2

e3，
当且仅当a=5，b=

11

2

时，取到最小值-

1

2

e3．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．