Question

抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为

3

2

的点到焦点F的距离为2．
（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F，作互相垂直的两条弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

3

2

+

p

2

=2，由此能求出抛物线方程．
（2）设直线AB的方程为y=k（x-

1

2

），联立

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(2+k2)x+

k2

4

=0，由此利用抛物线弦长公式能求出|AB|+|CD|的最小值．

解答： 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为

3

2

的点到焦点F的距离为2，
∴

3

2

+

p

2

=2，解得p=1．
∴抛物线方程为y²=2x．
（2）抛物线y²=2x的焦点F（

1

2

，0），
由题意知直线AB的斜率k存在，且k≠0，
设直线AB的方程为：y=k（x-

1

2

），
联立

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(2+k2)x+

k2

4

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2+k2

k2

，
|AB|=x₁+x₂+1=

2+k2

k2

+1=

2

k2

+2，
∵CD⊥AB，∴|CD|=2+2k²，
∴|AB|+|CD|=4+

2

k2

+2k²≥4+2

4

=8，
当且仅当

2

k2

=2k2，即k=±1时，
|AB|+|CD|取最小值8．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查两条线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意抛物线弦长公式的合理运用．