Question

14．在二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展开式中，第三项系数为n-1，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 利用通项公式及其性质即可得出．

解答 解：二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展开式中，第三项系数$\frac{n（n-1）}{8}$，
再根据已知第三项系数为n-1，可得$n-1=\frac{n（n-1）}{8}$，
求得n=8或n=1（舍去）．
故二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展开式的通项公式为T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\frac{1}{2}）^{r}$x^4-r，
设第r+1项的系数最大，则由$\left\{\begin{array}{l}C_8^r•{（\frac{1}{2}）^r}≥C_8^{r+1}•{（\frac{1}{2}）^{r+1}}\\ C_8^r•{（\frac{1}{2}）^r}≥C_8^{r-1}•{（\frac{1}{2}）^{r-1}}\end{array}\right.$解得2≤r≤3，
因为r∈Z，所以r=2或r=3，
故第三项或第四项的系数最大，
再利用通项公式可得系数最大的项为${T_3}=7{x^2}$，T₄=7x．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．