Question

已知定点F₁（-

3

，0），F2(

3

，0)，曲线C是使|RF₁|+|RF₂|为定值的点R的轨迹，曲线C过点T（0，1）．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过点F₂，且与曲线C交于PQ，当△F₁PQ的面积取得最大值时，求直线l的方程；
（3）设点P是曲线C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁、PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交曲线C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出|RF₁|+|RF₂|=|TF₁|+|TF₂|≥2

3

，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l为x=my+

3

，代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，得(4+m2)y2+2

3

my-1=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．
（3）由题意知

PF1 • PM

| PF1 || PM |

=

PF2 • PM

| PF2 || PM |

，

PF1 • PM

| PF1 |

=

PF2 • PM

| PF2 |

，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵定点F₁（-

3

，0），F2(

3

，0)，
曲线C是使|RF₁|+|RF₂|为定值的点R的轨迹，
曲线C过点T（0，1）．
∴|RF₁|+|RF₂|=|TF₁|+|TF₂|
=2

( 3 )2+1

=4＞|F1F2|=2

3

，（2分）
∴曲线C为以原点为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆，
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则2c=2

3

，∴a=2，c=

3

，b=1，
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）设直线l为x=my+

3

，代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，
得(4+m2)y2+2

3

my-1=0，
△=12m²+16（m+m²）＞0，
设P（x₃，y₃），得

y3+y4=- 2 3 m 4+m2 y3y4=- 1 4+m2

，
∴|PQ|=

(x3-x4)2+(y3-y4)

=

(1+m)2[(y3+y4)2-4y3y4]

=

4(1+m2)

4+m2

，
F₁到直线l的距离d=

2 3

1+m2

，
设t=

1+m2

，则t≥1，
∴S△F₁PQ=

1

2

|PQ|d=4

3

×

1+m2

4+m2

=

4 3 t

t2+3

=

4 3

t+ 3 t

≤2．
当t²=3，即m²=2，m=±2时，面积最大，
∴△F₁PQ的面积取得最大值时，
直线l的方程为：x+

2

y-

3

=0和x-

2

y-

3

=0．（9分）
（3）由题意可知：

PF1 • PM

| PF1 || PM |

=

PF2 • PM

| PF2 || PM |

，

PF1 • PM

| PF1 |

=

PF2 • PM

| PF2 |

，（10分）
设P（x₀，y₀）其中x02≠4，
将向量坐标代入并化简，得：
m（4x02-16）=3x02-12x0，（12分）
∵x02≠4，∴m=

3

4

x0，（13分）
∵x₀∈（-2，2），∴m∈（-

3

2

，

3

2

）．（14分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积最大时直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．