题目内容
已知双曲线与椭圆
+
=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2
．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=
，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆
+
=1有公共焦点F1，F2，求出a，b，c．最后写出双曲线的标准方程；
（2）求出|PF1|=7，|PF2|=3，|F1F2|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2．
| 4 |
| 5 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
（2）求出|PF1|=7，|PF2|=3，|F1F2|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2．
解答：
解：（1）椭圆
+
=1的焦点为（0，±4），离心率为e=
．
∵双曲线与椭圆的离心率之和为2
，
∴双曲线的离心率为2，
∴
=2
∵双曲线与椭圆
+
=1有公共焦点F1，F2，
∴c=4，
∴a=2，b=
，
∴双曲线的方程是
-
=1；
（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|-|PF2|=4
∴|PF1|=7，|PF2|=3，
∵|F1F2|=8，
∴cos∠F1PF2=
=-
．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
∵双曲线与椭圆的离心率之和为2
| 4 |
| 5 |
∴双曲线的离心率为2，
∴
| c |
| a |
∵双曲线与椭圆
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
∴c=4，
∴a=2，b=
| 12 |
∴双曲线的方程是
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 12 |
（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|-|PF2|=4
∴|PF1|=7，|PF2|=3，
∵|F1F2|=8，
∴cos∠F1PF2=
| 72+32-82 |
| 2•7•3 |
| 1 |
| 7 |
点评：本题考查椭圆双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，考查余弦定理，难度中等．
练习册系列答案
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