Question

已知3^x+3^y=9^x+9^y，求

27x+27y

3x+3y

的取值范围．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值,基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：令a=3^x，b=3^y，则a＞0，b＞0，由3^x+3^y=9^x+9^y，得a+b=a²+b²，即有(a-

1

2

)2+(b-

1

2

)2=

1

2

，
令a-

1

2

=

2

2

cosθ，b-

1

2

=

2

2

sinθ，θ∈（-

π

4

，

3π

4

），有

27x+27y

3x+3y

=

3

4

+

2

4

（sinθ+cosθ）-

1

2

sinθcosθ，
令sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=

t2-1

2

，有t=

2

sin（θ+

π

4

），可求t∈（0，

2

]，从而可得

3

4

+

2

4

（sinθ+cosθ）-

1

2

sinθcosθ=

9

8

-

1

4

（t-

2

2

）²，即可求

27x+27y

3x+3y

的取值范围．

解答： 解：令a=3^x，b=3^y，则a＞0，b＞0
∵3^x+3^y=9^x+9^y，∴a+b=a²+b²
∴(a-

1

2

)2+(b-

1

2

)2=

1

2

令a-

1

2

=

2

2

cosθ，b-

1

2

=

2

2

sinθ，θ∈（-

π

4

，

3π

4

）
∴

27x+27y

3x+3y

=a²+b²-ab=a+b-ab=

1

2

+

2

2

cosθ+

1

2

+

2

2

sinθ-（

1

2

+

2

2

cosθ）（

1

2

+

2

2

sinθ）
=1+

2

2

cosθ+

2

2

sinθ-

1

4

-

2

4

cosθ-

2

4

sinθ-

1

2

sinθcosθ
=

3

4

+

2

4

（sinθ+cosθ）-

1

2

sinθcosθ
令sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=

t2-1

2

有：t=

2

sin（θ+

π

4

）
∵θ∈（-

π

4

，

3π

4

），∴θ+

π

4

∈（0，π），∴t∈（0，

2

]
∴

3

4

+

2

4

（sinθ+cosθ）-

1

2

sinθcosθ
=

3

4

+

2

4

t-

t2-1

4

=1+

2

4

t-

1

4

t²
=1-

1

4

（t²-

2

t+(

2

2

)2）+

1

8

=

9

8

-

1

4

（t-

2

2

）²
∴当t=

2

2

时，取最大值

9

8

，当t趋向0时，最小值趋向1．
故

27x+27y

3x+3y

的取值范围是[1，

9

8

]．

点评：本题主要考察了有理数指数幂的化简求值，基本不等式在最值问题中的应用，考察了转化思想，属于难题．