Question

（1）求函数f（x）=

1-x

-

x

的定义域和值域．
（2）求证函数f（x）=a-

1

x

在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，1-x≥0，x≥0；从而求函数的定义域，进而求函数的值域；
（2）利用定义法证明函数的单调性．

解答： 解（1）要使函数有意义，则 

1-x≥0 x≥0

，
解得，0≤x≤1，
故函数的定义域为[0，1]．
∵函数f（x）=

1-x

-

x

为减函数，
∴函数的值域为[-1，1]．
（2）证明：任取0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴即f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的定义域，值域的求法及函数的单调性的证明，属于基础题．