Question

下列命题中正确的是（　　）

• A、“m=

  1

  2

  ”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要条件
• B、“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件
• C、已知a，b，c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件
• D、p：存在x∈R，x²+2x+2≤0，则￢p：任意x∈R，x²+2x+2＞0．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：A．对m分类讨论，利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出；
B．由“直线l垂直平面α内无数条直线”，则直线l不一定垂直于平面α，即可得出；
C.

a

，

b

，

c

为非零向量，由

a

•

b

=

a

•

c

，可得

a

•(

b

-

c

)=0，不一定

b

=

c

；
D．利用“非命题”的定义即可得出．

解答： 解：A．直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0，
当m=-2时，直线方程分别化为：-6y+1=0，-4x-3=0，此时两条直线相互垂直；
当m=0时，直线方程分别化为：2x+1=0，-2x+2y-3=0，此时两条直线不垂直；
当m≠-2，0时，直线方程分别化为：y=-

m+2

3m

x-

1

3m

，y=-

m-2

m+2

x+

3

m+2

，
若两条直线相互垂直，则-

m+2

3m

×(-

m-2

m+2

)=-1，解得m=

1

2

或-2（舍去）；
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=

1

2

，-2．
因此“m=

1

2

”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要条件，不正确．
B．由“直线l垂直平面α内无数条直线”，则直线l不一定垂直于平面α，因此“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件，不正确；
C．∵

a

，

b

，

c

为非零向量，由

a

•

b

=

a

•

c

，可得

a

•(

b

-

c

)=0，不一定

b

=

c

，因此不正确；
D．p：存在x∈R，x²+2x+2≤0，则￢p：任意x∈R，x²+2x+2＞0．正确．
故选：D．

点评：本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系、线面垂直的判定与性质、向量的数量积运算、非命题的定义，考查了推理能力．属于中档题．