Question

已知函数f（x）=sinx（2cos²

θ

2

-1）+cosx•sinθ（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．
（1）求θ的值；
（2）若f（2x-

π

3

）=

1

3

，且x∈（

3

4

π，π），求sin2x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简得f（x）=sin（x+θ）从而可求θ的值；
（2）若f（2x-

π

3

）=

1

3

，且x∈（

3

4

π，π），可先求f(2x-

π

3

)=cos(2x-

π

3

)=

1

3

，sin(2x-

π

3

)=-

1- 1 9

=

-2

3

2

从而可求sin2x的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosθ+cosx•sinθ=sin（x+θ）
∴π+θ=-

π

2

+2kπ⇒θ=-

3

2

π+2kπ，
∴θ=

π

2

（2）f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx
∴f(2x-

π

3

)=cos(2x-

π

3

)=

1

3

由

3

4

π＜x＜π⇒

3

2

π＜2x＜2π⇒

3

2

π-

π

3

＜2x-

π

3

＜2π-

π

3

∴sin(2x-

π

3

)=-

1- 1 9

=

-2

3

2

∴sin2x=sin[(2x-

π

3

)+

π

3

]=

1

2

sin(2x-

π

3

)+

3

2

cos(2x-

π

3

)=

-1

2

•

2

3

2

+

3

2

•

1

3

=

- 2

3

+

3

6

点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用和二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．