Question

12．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A₁C₁与CE所成角的余弦值为$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，且四边形ABB₁A₁为正方形，则球O的直径为4或$\sqrt{51}$．

Answer 1

分析 设AB=2x，则AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，由余弦定理可得x²=9+3x²+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，求出x，即可求出球O的直径．

解答 解：设AB=2x，则AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴AC=$\sqrt{9+3{x}^{2}}$，
由余弦定理可得x²=9+3x²+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∴x=1或$\sqrt{6}$，
∴AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，球O的直径为$\sqrt{4+4+8}$=4，
或AB=2$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{3}$，球O的直径为$\sqrt{24+24+3}$=$\sqrt{51}$．
故答案为：4或$\sqrt{51}$．

点评 本题考查球O的直径，考查余弦定理，考查学生的计算能力，正确求出AB是关键．