已知曲线C的极坐标方程是ρ2-4ρcos-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点.极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$．(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A.B两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知曲线C的极坐标方程是ρ²-4ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=3$\sqrt{2}$，求直线的倾斜角α的值．

分析（1）由${ρ^2}-4ρcos（θ-\frac{π}{3}）-1=0$，展开为ρ²-4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$-1=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出极坐标方程．
（II）将$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}\right.$代入圆的方程得化简得t²-2tcosα-4=0，利用弦长公式 $|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{cos}^2}α+16}=3\sqrt{2}$，化简即可得出．

解答解：（1）由${ρ^2}-4ρcos（θ-\frac{π}{3}）-1=0$，展开为ρ²-4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$-1=0，化为${x}^{2}+{y}^{2}-2x-2\sqrt{3}y$-1=0，
配方得圆C的方程为${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=5$（4分）
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}\right.$代入圆的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=5，（5分）
化简得t²-2tcosα-4=0，（6分）
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=2cosα\\{t_1}{t_2}=-4\end{array}\right.$，（7分）
所以$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{cos}^2}α+16}=3\sqrt{2}$，（8分）
所以4cos²α=2，$cosα=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$α=\frac{π}{4}或α=\frac{3π}{4}$．（10分）