Question

（1）已知x，y都是正实数，比较x³+y³与x²y+xy²的大小；
（2）解不等式ax²-（2a+1）x+2＜0，其中a＞0，a为常数．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用作差法比较x³+y³与x²y+xy²的大小；
（2）把不等式ax²-（2a+1）x+2＜0化为（ax-1）（x-2）＜0，讨论a的值，求出对应不等式的解集．

解答： 解：（1）（x³+y³）-（x²y+xy²）=（x³-x²y）+（y³-xy²）
=x²（x-y）-y²（x-y）
=（x-y）（x²-y²）
=（x-y）²（x+y），
当x＞0，y＞0时，x+y＞0，
若x=y，则（x-y）²=0，∴x³+y³=x²y+xy²；
若x≠y，则x³+y³＞x²y+xy²；
（2）不等式ax²-（2a+1）x+2＜0可化为（ax-1）（x-2）＜0，
∵a＞0，且a为常数，
∴当

1

a

=2，即a=

1

2

时，不等式无解；
当

1

a

＜2，即a＞

1

2

时，解不等式得

1

a

＜x＜2；
当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，解不等式得2＜x＜

1

a

；
综上，a=

1

2

时，不等式的解集为∅，
a＞

1

2

时，不等式的解集为{x|

1

a

＜x＜2}，
0＜a＜

1

2

时，不等式的解集为{x|2＜x＜

1

a

}．

点评：本题考查了比较代数式的大小以及含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是综合性题目．