Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．
（1）求证：f（x+4）=f（x）
（2）若函数f（x）为奇函数，且当-1≤x≤1时，f（x）=（

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2

）x，求f（x）在[-1，3]的解析式
（3）在（2）的条件下，求使f（x）=-

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2

在[0，2011]上的所有x的个数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替换x，结合函数周期性的定义和已知条件，不难得到f（x）是以4为一个周期的周期函数．
（2）根据函数在[-1，1]上的表达式，再设1＜x≤3，则得f（x-2）=

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(x-2)=-f（x）， 从而可得f（x）在区间（1，3]上的表达式，综上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．
（3）求出f（x）=-

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时x的值．再根据函数的周期性求出在[0，2011]上的所有x的个数

解答： 解：（1）由题意可得：f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期为4，
（2）∵当-1≤x≤1时，f（x）=

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x，
设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，
∴f（x-2）=

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2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），
可得f（x）=-

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（x-2）（1＜x≤3）．
综上所述，f（x）在[-1，3]的解析式为：f（x）=

1 2 x(-1≤x≤1) 1 2 (x-2)(1＜x≤3)

；
（3）由f（x）=-

1

2

，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-

1

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的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2011，则

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4

≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2011]上共有503个x使f（x）=-

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2

．

点评：本题以分段函数为例，求函数的周期并求函数的解析式，着重考查了函数的奇偶性、周期性，属于基础题．