Question

在△ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论：
①b²≥ac；②b2≥

a2+c2

2

；③

1

a

+

1

c

＜

2

b

；④0＜B≤

π

3

．
其中正确的结论是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差中项的性质和题意可得：2b=a+c，
利用基本不等式判断①、③；利用作差法判断②；利用余弦定理和不等式判断④．

解答： 解：因为a、b、c成等差数列，所以2b=a+c，
对于①，2b=a+c≥2

ac

，化简得b²≥ac，①正确；
对于②，b2-

a2+c2

2

=(

a+c

2

)2-

a2+c2

2

=

(a+c)2-2(a2+c2)

4

=-

(a-c)2

4

≤0，
则b2≤

a2+c2

2

，②错误；
对于③，

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

，③错误；
对于④，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
则(

a+c

2

)2=a2+c2-2accosB，
化简得，cosB=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，
则0＜B≤

π

3

，④正确，
综上得，①④，
故选：D．

点评：本题考查等差中项的性质，余弦定理，作差法比较大小，以及基本不等式的综合应用，属于难题．