Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，如图所示，线段OA，AB，BC和射线CD组成的折线是函数f（x）的部分图象，其中O为坐标原点，A（2，1），B（3，1），C（4，0），D（5，1）．
（Ⅰ）求f（-1）和f（6）的值；
（Ⅱ）若f（log₂x-1）＞f（log₂x），求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出x∈[0，1]，[4，+∞）的解析式，根据偶函数的性质求解，f（-1）=f（1）．
（2）因为log₂x-1＜log₂x，再由f（log₂x-1）＞f（log₂x），得出函数是减函数，有偶函数和图象可得．

解答： 解：当0≤x≤2时，可求得f（x）=

1

2

x，
因为f（x）是r上的偶函数，
所以f（-1）=f（1）=

1

2

，
又C（4，0）D（5，1），结合图形可求得：
当x≥4时，f（x）=x-4，
故f（6）=6-4=2
（2）∵log₂x-1＜log₂x，
又f（log₂x-1）＞f（log₂x），
∴f（x）是减函数，
有图象可知：3≤log₂x-1＜log₂x≤4，或log₂x-1＜log₂x≤-4，-2≤log₂x-1＜log₂x≤0，
解得：x=16，或0＜x≤

1

16

，或

1

2

≤x≤1

点评：本题主要考查偶函数的性质和单调性，属于基础题．