Question

已知函数f（x）=alnx+1，g（x）=x²+

b

x

-1，（a，b∈R）．
（1）若曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求b的值；
（2）当a＞0时，若对?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设p（x）=f（x）+g（x），在（1）的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，有

p(x1)+p(x2)

2

＞p（

x1+x2

2

）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得g'（1）=2，可得b的方程，解出即可；
（2）令h（x）=f（x）-x=alnx+1-x，则对?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，有h（x）_min＞0，求导数h'（x）=

a-x

x

，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三种情况进行讨论，结合单调性可得最小值，从而得a的不等式，解出可得；
（3）易得p（x）=x²+

2

x

+alnx，表示出

p(x1)+p(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，p（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，分别利用不等式可证明

1

2

(x12+x22)＞(

x1+x2

2

)2①，

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，②aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，③由三式可得结论；

解答： 解：（1）∵g'（x）=2x-

b

x2

，由曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，
得g'（1）=2-b=0，解得b=2；
（2）令h（x）=f（x）-x=alnx+1-x，则h'（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，
当a≥e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞x；
当1＜a＜e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，
对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．
当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对?x∈（1，e），要使f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合题意；
综上得对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．
（3）由p（x）=x²+

2

x

+alnx，
得

p(x1)+p(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+（

1

x1

+

1

x2

）+

a

2

(lnx1+lnx2)
=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，
p（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，
由x12+x22＞2x1x2得2(x12+x22)＞(x1+x2)2⇒

1

2

(x12+x22)＞(

x1+x2

2

)2①，
又(x1+x2)2=(x12+x22)+2x₁x₂＞4x₁x₂，
∴

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，②
∵

x1x2

＜

x1+ x2

2

，∴ln

x1x2

＜ln

x1+x2

2

，
∵a≤0，∴aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，③
由①、②、③得

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

＞(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1x2

，即

p(x1)+p(x2)

2

＞p（

x1+x2

2

）．

点评：本题考查导数的几何意义、函数恒成立、不等式的证明等知识，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高．