Question

10．证明：1-$\frac{1}{x+1}$≤ln（x+1）≤x，其中x＞-1．

Answer 1

分析 分别构造函数f（x）=ln（x+1）-x，g（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．

解答 证明：（1）构造函数f（x）=ln（x+1）-x，
∵f′（x）=$\frac{-x}{x+1}$，（x＞-1），当x=0，f′（0）=0，得下表

x	-1＜x＜0	0	x＞0
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值f（0）=0	单调递减

∴x＞-1总有f（x）≤f（0）=0，∴ln（x+1）-x≤0，∴ln（x+1）≤x；
（2）构造函数g（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，∵g′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
当x=0，g′（0）=0，当-1＜x＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增；∴x=0，g（x）_极小值=g（x）_min=g（0）=0，
∴x＞-1时，总有g（x）≥g（0）=0，∴ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1≥0，
即：1-$\frac{1}{x+1}$≤ln（1+x），
综上（1）（2）不等式1-$\frac{1}{x+1}$≤ln（x+1）≤x成立．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题．