Question

5．设函数f（x）=ax²+lnx，
（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是-1，求a；
（2）已知a＜0，若f（x）≤-$\frac{1}{2}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（1）=-1，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+lnx，可得$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$，--------（1分）
所以f'（1）=-1，解得a=-1．---------4 分
（2）$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}=\frac{{2a（{x^2}+\frac{1}{2a}）}}{x}，（x＞0，a＜0）$．
令f'（x）=0，则$x=\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
当$x∈（{0，\sqrt{-\frac{1}{2a}}}]$时，f'（x）＞0；
当$x∈（\sqrt{-\frac{1}{2a}}，+∞）$时，f'（x）＜0．-------（7分）
故$x=\sqrt{-\frac{1}{2a}}$为函数f（x）的唯一极大值点，
所以f（x）的最大值为$f（\sqrt{-\frac{1}{2a}}）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln（-\frac{1}{2a}）$．-------（9分）
由题意有$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln（-\frac{1}{2a}）≤-\frac{1}{2}$，解得$a≤-\frac{1}{2}$．
所以a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{2}]$．--------（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．