Question

1．已知函数f（x）=lnx+x²-3x-m．
（1）当m=0时，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在区间（m+$\frac{1}{4}$，1）上是单调函数，求实数m取值范围；
（3）若函数y=2x-lnx（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求实数m取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再判断其单调性，根据单调性即可求出函数的极小值；
（2）由（1）要使函数f（x）在区间（m+$\frac{1}{4}$，1）上是单调函数，只能为减函数，即可求出m的取值范围；
（3）分离参数，已知可化为m＞x²-5x+2lnx，x∈[1，4]恒成立，设g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，结合导数的知识容易解决问题．

解答 解：（1）f（x）=lnx+x²-3x（x＞0），$f'（x）=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}（x＞0）$，$f'（x）=0⇒x=\frac{1}{2}，1$，

x	（0，0.5）	0.5	（0.5，1）	1	（1，+&）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴$f（x）在（0，\frac{1}{2}），（1，+∞）增，在（\frac{1}{2}，1）减$，
∴f（x）_极小值=f（1）=-2，
（2）由（1）要使函数f（x）在区间（m+$\frac{1}{4}$，1）上是单调函数，只能为减函数，
∴$\frac{1}{2}$≤m+$\frac{1}{4}$＜1，
∴$\frac{1}{4}$≤m＜$\frac{3}{4}$，
故m的取值范围为[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
（3）已知可化为m＞x²-5x+2lnx，x∈[1，4]恒成立，
设g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，
$g'（x）=\frac{（2x-1）（x-2）}{x}，⇒g'（x）=0⇒x=\frac{1}{2}，2；x∈[1，4]$…．
∴g（x）在（2，4）增，在（1，2）减，
∵g（1）=-4＜g（4）=-4+4ln2，
∴g（x）_max=g（4）=-4+4ln2，
∴m＞-4+4ln2．

点评 本题考查了导数和函数的单调性以及不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题求解，能分离参数的尽量分离参数，注意导数在研究函数最值问题中的应用．