Question

2．若函数f（x）=x³-3x在[a，6-a²）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\sqrt{5}$，1）
• B． [-$\sqrt{5}$，1）
• C． [-2，1）
• D． （-$\sqrt{5}$，-2]

Answer 1

分析 根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6-a²）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5-a²，进而求出正确的答案．

解答 解：由题意可得：函数 f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3．
令f′（x）=3x²-3=0可得，x=±1；
因为函数 f（x）在区间（a，6-a²）上有最小值，其最小值为f（1），
所以函数f（x）在区间（a，6-a²）内先减再增，
即f′（x）先小于0然后再大于0，
所以结合二次函数的性质可得：a≤1＜6-a²，
且f（a）=a³-3a≥f（1）=-2，且6-a²-a＞0，
联立解得：-2≤a＜1．
故选：C．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．