Question

3．已知集合A={x|（m-1）x²+3x-2=0}．
（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；
（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）若集合A为两个元素的集合，则关于x的方程有实数解，则m-1≠0，由此根据判别式能求出实数m的取值范围；
（2）若A恰有两个子集，则A为单元素集，即关于x的方程（m-1）x²+3x-2=0恰有一个实数解，求出实数m的取值范围即可得答案．

解答 解：（1）若集合A为两个元素的集合，则关于x的方程（m-1）x²+3x-2=0有实数解，则m-1≠0，
且△=9+8（m-1）＞0，∴$m＞-\frac{1}{8}$；
（2）集合A且仅有两个子集，
∴关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：①当m=1时，x=$\frac{2}{3}$，满足题意；
②当m≠1时，△=8m+1=0，∴m=-$\frac{1}{8}$．
综上所述，m=1或m=-$\frac{1}{8}$．
∴M的集合为{-$\frac{1}{8}$，1}．

点评 本题考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法的合理运用，是中档题．