Question

17．已知函数f（x）=x²-2ax+b（x∈R），给出下列命题：
①存在实数ɑ，使f（x）为偶函数．
②若f（0）=f（2），则 f（x）的图象关于x=1对称．
③若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数
④若a²-b-2＞0，则函数h（x）=f（x）-2有2个零点．
其中正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 ①，实数ɑ=0时，f（x）为偶函数．
②，若f（0）=f（2）⇒a=1，再求f（x）对称轴．
③，函数f（x）=x²-2ax+b 的对称轴为x=a，且开口朝上，可求f（x）增区间．
④，方程x²-2ax+b-2=0有两个不等实根，即△=4a²-4（b-2）＞0，即a²-b+2＞0．

解答 解：对于①，实数ɑ=0时，f（x）为偶函数，故正确．
对于②，若f（0）=f（2）⇒a=1，则 f（x）的图象关于x=1对称，故正确．
对于③，函数f（x）=x²-2ax+b 的对称轴为x=a，且开口朝上，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数，故正确．
对于④，若函数h（x）=f（x）-2有2个零点⇒方程x²-2ax+b-2=0有两个不等实根，即△=4a²-4（b-2）＞0，即a²-b+2＞0，故错．
故答案为：①②③

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到函数的性质，属于基础题．