Question

5．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线f（x）在x=0处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=6x²+6ax+3b，函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2时取得极值，可得$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，由此能求出a，b的值．
（2）确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线f（x）在x=0处的切线方程．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=4；
（2）由（1）得f（x）=2x³-9x²+12x+8，f′（x）=6x²-18x+12，
∴f（0）=0，f′（0）=12．∴切线的斜率k=12．切点为（0，8）
由直线方程的点斜式得切线方程为：y-8=12x，即12x-y+8=0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，极值，正确求导是关键．