Question

2．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，b=$\sqrt{3}$，求a+c的值；
（2）求2sinA-sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B．利用$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，可得accosB=$\frac{3}{2}$，再利用余弦定理即可得出；
（2）由（1）知：2sinA-sinC=$2sin（\frac{2π}{3}-C）-sinC$=$\sqrt{3}$cosC，再利用C的范围即可得出．

解答 解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，
∴accosB=$\frac{3}{2}$，化为ac=3．
∵b=$\sqrt{3}$，b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-ac=3，即（a+c）²-3ac=3，（a+c）²=12，
∴a+c=2$\sqrt{3}$．
（2）由（1）知：2sinA-sinC=$2sin（\frac{2π}{3}-C）-sinC$
=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC）$-sinC
=$\sqrt{3}$cosC，
∵$0＜C＜\frac{2π}{3}$，
∴cosC∈$（-\frac{1}{2}，1）$．
∴2sinA-sinC的取值范围是$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了余弦定理、等差数列的性质、数量积运算性质、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．