Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A₁、A₂，M是双曲线上异于A₁、A₂的任意一点，直线MA₁和MA₂分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $[{\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $（{1，\sqrt{2}}）$
• D． $（{1，\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），P（0，y_p），Q（0，y_q），通过M，P，Q三点共线，求出y_p，y_q，利用等比数列求出b的范围，然后求解离心率即可．

解答 解：设M（x₀，y₀），P（0，y_p），Q（0，y_q），
由M，P，Q三点共线，可知y_p=$\frac{a{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，同理y_q=$\frac{-a{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
所以|OP||OQ|=$\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}={b}^{2}$，从而|OM|=b，当b＞a时，满足题意，所以e$＞\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力．