Question

10．已知函数f（x）=x-1+ae^x．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）求f（x）的极值；
（3）当a=1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-1没有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，由题意可知f′（1）=0，即可求得a的值；
（2）由（1）可知：分类讨论，根据导数与函数的单调性及极值的关系，即可求得f（x）的极值；
（3）由题意可知g（x）=（1-k）x+e^x=0无实数解，求导，根据函数的单调性及函数零点的判断，即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=x-1+ae^x．求导，f′（x）=1+ae^x．
由f′（1）=0，1+ae=0，解得：a=-$\frac{1}{e}$，
∴a的值-$\frac{1}{e}$；
（2）当a≥0，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上是增函数，无极值；
当a＜0时，令f′（x）=0，则e^x=-$\frac{1}{a}$，x=ln（-$\frac{1}{a}$），
x＜ln（-$\frac{1}{a}$），f′（x）＞0；当x＞ln（-$\frac{1}{a}$），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，ln（-$\frac{1}{a}$））上单调递增，在（ln（-$\frac{1}{a}$），+∞）单调递减，
f（x）在x=ln（-$\frac{1}{a}$）处取极大值，且极大值f（ln（-$\frac{1}{a}$））=-ln（-a）-2，无极小值；
（3）当a=1时，f（x）=x-1+e^x．
令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+e^x，
由题意可知：g（x）=0无实数解，
假设k＜1，此时g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+${e}^{\frac{1}{k-1}}$＜0，
由函数g（x）的图象连续不断，由函数零点存在定理g（x）=0在R上至少有一解，
与方程g（x）=0，在R上没有实数解矛盾，故k≥1，
由k=1时，g（x）=e^x，可知方程g（x）=0在R上没有实数解，
∴k的取值范围[1，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，函数零点的判定，考查分类讨论思想及转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题．