Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4（a_n-1），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式求出首项，并得到当n≥2时，3S_n-1=4（a_n-1-1），与原递推式作差得：a_n=4a_n-1（n≥2）．得到数列{a_n}是以4为首项，以4为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n-2}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ（n≥2），两式作差可得数列{b_n}是等差数列，然后由等差数列的前n项和求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由3S_n=4（a_n-1），取n=1，得3a₁=3S₁=4a₁-4，∴a₁=4；
当n≥2时，3S_n-1=4（a_n-1-1），
两式作差得：a_n=4a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以4为首项，以4为公比的等比数列，
则${a}_{n}=4×{4}^{n-1}={4}^{n}$；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，
得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n-2}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ（n≥2），
两式作差可得a_nb_n=（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$-（$\frac{2n-2}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ=（2n-1）•2²ⁿ．
∴${b}_{n}=\frac{（2n-1）{2}^{2n}}{{4}^{n}}=2n-1$（n≥2）．
又由${a}_{1}{b}_{1}=\frac{20}{9}+（\frac{2}{3}-\frac{5}{9}）×{2}^{4}$求得b₁=1，
∴b_n=2n-1．
∴b_n+1-b_n=2n+1-2n+1=2．
则数列{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$n×1+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．