题目内容
已知向量
=（cos
．-sin
），
=（cos
，sin
）
（1）设函数f（x）=
•
，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=
•
-2λ|
+
|，若g（x）的最小值是-
，求实数λ的值．
| a |
| 3x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
（1）设函数f（x）=
| a |
| b |
（2）设函数g（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
考点：平面向量的综合题,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用平面向量的坐标运算可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）利用平面向量模的运算性质可得，|
+
|=2|cosx|，g（x）=
•
-2λ|
+
|=cos2x-4λ|cosx|=2cos2x-4λ|cosx|-1，令t=|cosx|，则t∈[0，1]，可知h（t）=2t2-4λt-1=2（t-λ）2-1-2λ2，t∈[0，1]．依题意，通过对λ取值范围的讨论，利用二次函数的性质即可求得λ．
（2）利用平面向量模的运算性质可得，|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：（1）f（x）=
•
=cos
cos
-sin
sin
=cos2x，
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ-
≤x≤kπ（k∈Z），
所以，f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ]（k∈Z）；
（2）因为|
+
|2=|
|2+2
•
+|
|2=2+2cos2x，
所以，|
+
|=2|cosx|，
所以，g（x）=
•
-2λ|
+
|=cos2x-4λ|cosx|=2cos2x-4λ|cosx|-1，
令t=|cosx|，则t∈[0，1]，
则h（t）=2t2-4λt-1=2（t-λ）2-1-2λ2，t∈[0，1]．
当λ＜0时，h（t）在区间[0，1]上单调递增，
由h（t）min=h（0）=-1≠-
；
当0≤λ≤1时，h（t）min=h（λ）=-1-2λ2=-
，解得λ=
；
当λ＞1时，h（t）在区间[0，1]上单调递减，
由h（t）min=h（1）=1-4λ=-
得：λ=
＜1，舍去；
综上所述，λ=
．
| a |
| b |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ-
| π |
| 2 |
所以，f（x）的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 2 |
（2）因为|
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
所以，|
| a |
| b |
所以，g（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
令t=|cosx|，则t∈[0，1]，
则h（t）=2t2-4λt-1=2（t-λ）2-1-2λ2，t∈[0，1]．
当λ＜0时，h（t）在区间[0，1]上单调递增，
由h（t）min=h（0）=-1≠-
| 3 |
| 2 |
当0≤λ≤1时，h（t）min=h（λ）=-1-2λ2=-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当λ＞1时，h（t）在区间[0，1]上单调递减，
由h（t）min=h（1）=1-4λ=-
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
综上所述，λ=
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，突出考查三角函数的单调性质，考查分类讨论思想、转化思想，属于难题．
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