Question

如图，四棱锥P-ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥EO；
（2）证明：DE⊥平面PBC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）求

BC

=（-1，0，0），

PC

=（0，1，-1），

DE

=（0，

1

2

，

1

2

），利用向量法能证明DE⊥平面PBC．

解答： （Ⅰ）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，
连结AC，则AC交BD于点O，
连结EG，依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，

1

2

，

1

2

），
∵底面ABCD是正方形，∴O是正方形ABCD的中点，∴O（

1

2

，

1

2

，0），
∴

PA

=（1，0，-1），

EO

=（

1

2

，0，-

1

2

），
∴

PA

=2

EO

，即PA∥EG，
∴PA∥EO．
（Ⅱ）证明：依题意B（1，1，0），C（0，1，0），

BC

=（-1，0，0），

PC

=（0，1，-1），
又

DE

=（0，

1

2

，

1

2

），
∴

BC

•

DE

=0，

PC

•

DE

=0+

1

2

-

1

2

=0
∴BC⊥DE，PC⊥DE，
又BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC．

点评：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．