Question

已知函数f（x）=x+

m

x

（m为正的常数），它在（0，+∞）内的单调变化是：在(0，

m

]内递减，在[

m

，+∞)内递增．其第一象限内的图象形如一个“对号”．请使用这一性质完成下面的问题．
（1）若函数g（x）=2x+

a

x

在（0，1]内为减函数，求正数a的取值范围；
（2）若圆C：x²+y²-2x-2y+1=0与直线l：y=kx相交于P、Q两点，点M（0，b）且MP⊥MQ．求当b∈[1，+∞）时，k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由对勾函数的图象和性质，可知函数g(x)=2x+

a

x

=2(x+

a 2

x

)(a＞0)在(0，

a 2

]内为减函数．进而构造关于a的不等式，解得正数a的取值范围；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由MP⊥MQ，可得：k_MP•k_MQ=-1，进而由韦达定理，构造关于k的不等式，解得k的取值范围．

解答： 解：（1）由对勾函数的图象和性质，
可知函数g(x)=2x+

a

x

=2(x+

a 2

x

)(a＞0)在(0，

a 2

]内为减函数．
依题意，(0，1]?(0，

a 2

]，
故

a 2

≥1得a≥2
∴a的取值范围是[2，+∞）．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵MP⊥MQ，
∴k_MP•k_MQ=-1
∴

(y1-b)(y2-b)

x1x2

=-1，
即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0
又y₁=kx₁，y₂=kx₂
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，
即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0（*）
由

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0

得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0
由△=[2（1+k）]²-4（1+k²）=8k＞0得k＞0①
且x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

代入（*）中得(1+k2)

1

1+k2

-kb

2(1+k)

1+k2

+b2=0
即

2k(1+k)

1+k2

=b+

1

b

．
由对勾函数的图象和性质知，b+

1

b

在b∈[1，+∞）时为增，故b+

1

b

≥1+

1

1

=2．
∴

2k(1+k)

1+k2

≥2，得k≥1②
由①②得k≥1．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，直线与圆的位置关系，直线垂直的充要条件，是函数与解析几何的综合应用，难度中档．