Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA₁=3，E是棱CC₁上的点，且

CE

=

1

3

CC1

，P是侧面BCC₁B₁上的动点，且A₁P∥面D₁AE，则A₁P与平面BCC₁B₁所成角的正切值的最大值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  10

  2

• C、

  13

  2

• D、2

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,向量法,空间位置关系与距离,空间角

分析：以B为原点，BA，BC，BB₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设P（0，s，t），求得A₁，A，E，D₁，B₁的坐标，连接B₁P，则由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁所，则∠A₁PB₁即为A₁P与平面BCC₁B₁所成角，则tan∠A₁PB₁=

A1B1

B1P

，要求最大值，只要求B₁P的最小值，设平面D₁AE的法向量为

n

=（x，y，z），由向量垂直的条件，求出法向量，再由

n

⊥

A1P

，求出P的轨迹方程，即为直线，再由点到直线的距离公式，即可得到．

解答： 解：以B为原点，BA，BC，BB₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设P（0，s，t），且A₁（2，0，3），A（2，0，0），E（0，2，1），D₁（2，2，3），B₁（0，0，3），
连接B₁P，则由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁所，则∠A₁PB₁即为A₁P与平面BCC₁B₁所成角，
则tan∠A₁PB₁=

A1B1

B1P

，

AE

=（-2，2，1），

AD1

=（0，2，3），

A1P

=（-2，s，t-3），
设平面D₁AE的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

⊥

AE

，即

n

•

AE

=0，即有-2x+2y+2z=0，

n

⊥

AD1

，即有2y+3z=0，即y=-

3

2

z，x=-z，
可取

n

=（-2，-3，2），由于A₁P∥面D₁AE，则

n

⊥

A1P

，
即有

n

•

A1P

=0，即4-3s+2（t-3）=0，即2t-3s-2=0，
则B₁P的最小值为d=

|2×3-2|

22+32

=

4

13

，
则tan∠A₁PB₁的最大值为：

2

4 13

=

13

2

．
故选C．

点评：本题考查空间直线和平面所成的角的求法，考查坐标法求空间角，考查空间直线与平面的位置关系，考查运算能力，属于中档题．