Question

如图1，在直角梯形中，AD//BC, =90⁰，BA="BC" 把ΔBAC沿折起到的位置,使得点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段上，如图2所示，点分别为线段PC，CD的中点．

(I) 求证：平面OEF//平面APD；
(II)求直线CD与平面POF；
(III)在棱PC上是否存在一点,使得到点P,O,C,F四点的距离相等？请说明理由.

Answer 1

(I) (II)详见解析； (III)存在点M满足条件．

试题分析：(I) 要证平面OEF//平面APD ，只需借助所给中点，证明、即可； (II) 借助底面为直角梯形及可得，另由已知可得：平面，进而可得，从而可证平面；(III)记点为，证明即可．
试题解析：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上
所以平面，所以                         2分
因为，
所以是中点，                                        3分
所以                                             4分
同理
又
所以平面平面；                                6分
（II）因为，
所以                                             7分
又平面，平面
所以                                             8分
又
所以平面；                                      10分
(III)存在，事实上记点为即可                            11分
因为平面，平面
所以
又为中点，所以                            12分
同理，在直角三角形中，，        13分
所以点到四个点的距离相等．                     14分