Question

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，为上一点，，．

（I）若为的中点，求证平面；
（II）求三棱锥的体积．

Answer 1

（I）详见解析；（II）三棱锥的体积为.

试题分析：（I）要证线面平行，先构造面外线平行于面内线；（II）求三棱锥的体积关键是选择适当的底面，以便于求高为标准，为此要先考察线面垂直.
试题解析：（I）若为的中点， 为上一点，，故，都是线段的三等分点．
设与的交点为，由于底面为矩形，则是的中位线，故有，而平面，平面内，故平面．
（II）由于侧棱底面，且为矩形，故有，，，故平面，又因为，，所以三棱锥的体积．