Question

正方形的边长为2，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设．

（1）求证：无论取何值，与不可能垂直；
（2）设二面角的大小为，当时，求的值．

Answer 1

（1）与不可能垂直； （2）的值为．

试题分析：（1）假设，                                     1分
又因为，，所以平面，          3分
所以，又，所以，              5分
这与矛盾，所以假设不成立，所以与不可能垂直；   6分
（2）分别以为轴，过点垂直平面向上为轴，如图建立坐标系，

设平面的一个法向量为，
，
，     7分
得，   8分
设平面的一个法向量为，
，，       9分
得，   10分
                11分
=，                              12分
得，                                             13分
所以当时，的值为．                     14分
点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。利用“向量法”，通过建立空间直角坐标系，往往能简化解题过程。对于折叠问题，首先要弄清“变”与“不变”的几何元素。