题目内容
已知实数a，b满足3a+b=1，则
+
的最大值是 ．
a+
|
b+
|
考点：基本不等式
专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：由于
+
=
•
+
设
=（
，1），
=（
，
），
运用|
•
|≤|
|•|
|，即可得到最大值．
a+
|
b+
|
| ||
| 3 |
3a+
|
b+
|
| m |
| ||
| 3 |
| n |
3a+
|
b+
|
运用|
| m |
| n |
| m |
| n |
解答：
解：
+
=
•
+
设
=（
，1），
=（
，
），
则|
•
|≤|
|•|
|，
则
•
+
≤
•
=2，
当且仅当
=
，又3a+b=1即有
a=-
，b=
，取得最大值2．
故答案为：2
a+
|
b+
|
| ||
| 3 |
3a+
|
b+
|
设
| m |
| ||
| 3 |
| n |
3a+
|
b+
|
则|
| m |
| n |
| m |
| n |
则
| ||
| 3 |
3a+
|
b+
|
|
| 3a+b+2 |
=2，
当且仅当
9a+
|
b+
|
a=-
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
故答案为：2
点评：本题考查运用向量的数量积的性质，即为柯西不等式，求最值的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．
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