Question

16．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点
（Ⅰ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅱ）若F为AB的中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出$\frac{PM}{MC}$的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）以A为原点建系，设AB=2，求出$\overrightarrow{AE}$和平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$，则所求的线面角的最小值等于|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|；
（II）设$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$，求出$\overrightarrow{FM}$和$\overrightarrow{AC}$的坐标，令$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}=0$解出λ即可得出$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图的空间直角坐标系，
不妨设AB=AP=2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2），
设平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直线AE与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．  
（Ⅱ）C（2，2，0），F（1，0，0），
∴$\overrightarrow{CP}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{FC}$=（1，2，0）．
设$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
∴$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}$=（1-2λ，2-2λ，2λ），
∵FM⊥AC，∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得λ=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．