Question

4．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥AM；
（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；
（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$和平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 （Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．
∵△BCD是等边三角形，
∴OB⊥CD．
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面CMD，
∴OM⊥平面BCD．
又∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB．
∴O，M，A，B四点共面．
∵OB∩OM=O，OB?平面OMAB，OM?平面OMAB，
∴CD⊥平面OMAB．∵AM?平面OMAB，
∴CD⊥AM．
（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．
∵△BCD是等边三角形，BC=2，
∴$OB=\sqrt{3}$，CD=2．
在Rt△ANM中，$AN=\sqrt{A{M^2}-M{N^2}}=\sqrt{A{M^2}-O{B^2}}=1$．
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，
∴$OM=\frac{1}{2}CD=1$．
∴AB=AN+NB=AN+OM=2．
以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则M（0，0，1），$B（{0，-\sqrt{3}，0}）$，D（-1，0，0），$A（{0，-\sqrt{3}，2}）$．
∴$\overrightarrow{AM}=（{0，\sqrt{3}，-1}）$，$\overrightarrow{BM}=（{0，\sqrt{3}，1}）$，$\overrightarrow{BD}=（{-1，\sqrt{3}，0}）$．
设平面BDM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由n•$\overrightarrow{BM}=0$，n•$\overrightarrow{BD}=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=$（{\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}}）$．
设直线AM与平面BDM所成角为θ，
则$sinθ=|{cos?\overrightarrow{AM}，n＞}|$=$\frac{{|{\overrightarrow{AM}•n}|}}{{|{\overrightarrow{AM}}||n|}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．