Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E，F分别是AB，BB₁的中点，G为CC₁上动点，当AF，EG所成角最小时，FG与平面AA₁BB₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 以A为原点，以AC，AB，AA₁为坐标轴建立空间直角坐标系，设G（2，0，a），求出AF，EG所成角的余弦关于a的函数，利用导数得出此函数的极大值点为a=0，即G与C重合．然后使用定义求出线面角的余弦值．

解答 解：以A为原点，以AC，AB，AA₁为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），E（0，1，0），F（0，2，1），设G（2，0，a），（0≤a≤2）．
则$\overrightarrow{AF}$=（0，2，1），$\overrightarrow{EG}$=（2，-1，a）．
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EG}$=a-2，|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{EG}$|=$\sqrt{5+{a}^{2}}$
∴cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{EG}$＞=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{EG}|}$=$\frac{a-2}{\sqrt{5}•\sqrt{5+{a}^{2}}}$．
∴AF，EG所成角的余弦值为$\frac{2-a}{\sqrt{5}\sqrt{{a}^{2}+5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+5}}$．
令f（a）=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+5}$，则f′（a）=$\frac{4{a}^{2}+2a-20}{（{a}^{2}+5）^{2}}$．
令f′（a）=0，解得a=-$\frac{5}{2}$或a=2．
∴当0≤a≤2时，f′（a）≤0，f（a）在[0，2]上是减函数．
∴当a=0时，f（a）取得最大值，即AF，EG所成角的余弦值最大，AF，EG所成角最小．
当a=0时，G与C重合．连结FC，则∠AFC为FG与平面AA₁BB₁所成的角．
∵BC=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{5}$，CF=$\sqrt{B{C}^{2}+B{F}^{2}}$=3，
∴cos∠AFC=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查了空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．