已知函数f(x)=ax2+lnx在点P(1.1)处的切线方程,在(0.e]是单调递增函数.试求a的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点P（1，1）处的切线方程；
（2）若f（x）在（0，e]是单调递增函数，试求a的取值范围．

分析（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得和的单调区间．

解答解：函数y=f（x）的定义域为x∈（0，+∞），$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$
（1）可见，切点为P（1，1），切线的斜率k=f'（1）=3，
∴切线方程为y-1=3（x-1），即：3x-y-2=0；
（2）由题知：$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}≥0$在（0，e]上恒成立，
∴$a≥-\frac{1}{{2{x^2}}}$在（0，e]上恒成立，
而x∈（0，e]时，$-\frac{1}{{2{x^2}}}≤-\frac{1}{{2{e^2}}}$，
∴$a≥-\frac{1}{{2{e^2}}}$．

点评本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．

练习册系列答案

17．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}-ax+b}}{e^x}$经过点（0，3），且在该点处得切线与x轴平行
（1）求a，b的值；
（2）若x∈（t，t+1），其中t＞-2，讨论函数y=f（x）的单调区间．

14．“m=1”是“直线mx+（m+1）y-1=0和直线2x-my+1=0垂直”的（　　）

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	充要条件		D．	既不充分也不必要条件

1．设函数 f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx．
（1）当a=$\frac{1}{2}$，b=$-\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+bx+$\frac{a}{x}$（0＜x＜3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内恰有两个实数解，求实数m的取值范围．

11．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．

18．为了得到函数y=3sin2x的图象，只要把y=3sin（2x+$\frac{π}{5}$）的图象上所有的点（　　）

	A．	向左平移$\frac{π}{10}$个单位长度		B．	向右平移$\frac{π}{10}$个单位长度
	C．	向左平移$\frac{π}{5}$个单位长度		D．	向右平移$\frac{π}{5}$个单位长度

15．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}+2$在区间[1，4]上是单调递增函数，则实数a的最小值是（　　）

16．

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点
（Ⅰ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅱ）若F为AB的中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出$\frac{PM}{MC}$的值，若不存在，说明理由．

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