Question

如图1，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．
（1）求证：AD′⊥BE
（2）求四棱锥D′-ABCE的体积；
（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明BE⊥AE，然后BE⊥平面D'AE，通过直线与平面垂直的性质定理证明AD'⊥BE．
（2）取AE中点F，连接D'F，证明D'F⊥平面ABCE，得到棱锥的高，然后求解棱锥的体积．
（3）连接AC交BE于Q，连接PQ，证明D'B∥PQ利用比例关系，即可在棱D'E上存在一点P，且EP=

1

3

ED′，使得D'B∥平面PAC．

解答： 解：（1）证明：在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，
∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠AEB=90°，即BE⊥AE…（2分）
∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面D'AE，AD'?平面D'AE
∴AD'⊥BE…（4分）
（2）取AE中点F，连接D'F，则D'F⊥AE
∵平面D'AE⊥平面ABCE，
且平面D'AE∩平面ABCE=AE，D'F⊥平面ABCE，
∴VD′-ABCE=

1

3

SABCE•D′F=

1

3

•

1

2

•(1+2)•1•

2

2

=

2

4

…（8分）
（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，
若D'B∥平面PAC
∵D'B?平面D'BE
平面D'BE∩平面PAC=PQ
∴D'B∥PQ…（10分）
∴在△EBD'中，

EP

PD′

=

EQ

QB

，∵在梯形ABCE中

EQ

QB

=

EC

AB

=

1

2

∴

EP

PD′

=

EQ

QB

=

1

2

，即EP=

1

3

ED′
∴在棱D'E上存在一点P，且EP=

1

3

ED′，使得D'B∥平面PAC…（12分）

点评：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力．