Question

11．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow b$|=1，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$的夹角为120°，则|$\overrightarrow a$|的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，得出$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，利用正弦定理求出|$\overrightarrow{a}$|，得出|$\overrightarrow{a}$|的取值范围．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
如图所示：
则由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
又∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，
∴∠ABC=60°，
又由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{sin60°}$；
得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．
故答案为：（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．