Question

7．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N）．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据题意，由数列的递推公式变形可得a_n+1+1=2（a_n+1），分析可得数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，公比q=2的等比数列，由等比数列的通项公式可得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，变形可得a_n=2ⁿ-1，即可得答案．

解答 解：根据题意，若a_n+1=2a_n+1（n≥1），则有a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1），
即a_n+1+1=2（a_n+1），（n≥1），
即数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，公比q=2的等比数列，
则a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
故a_n=2ⁿ-1，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的递推公式，注意构造法的合理运用，找到a_n+1与a_n之间的关系．