Question

17．已知m∈R，且（$\frac{m+i}{1+2i}$）²＜0，则下列关于函数f（x）=x^m说法正确的是（　　）

• A． f（x）为R上单调递减的奇函数
• B． f（x）为R上单调递增的偶函数
• C． f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递减
• D． f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递增

Answer 1

分析 化简复数的式子可得m=-2，由幂函数的性质可得．

解答 解：化简可得$\frac{m+i}{1+2i}$=$\frac{（m+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{（m+2）+（1-2m）i}{5}$，
∴（$\frac{m+i}{1+2i}$）²=$\frac{（m+2）^{2}-（1-2m）^{2}+2（m+2）（1-2m）i}{25}$，
由（$\frac{m+i}{1+2i}$）²＜0可得$\left\{\begin{array}{l}{2（m+2）（1-2m）=0}\\{（m+2）^{2}-（1-2m）^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得m=-2，故函数f（x）=x^m=x^-2，
由幂函数可知f（x）为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，
故选：C．

点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及幂函数的性质，属基础题．