Question

19．已知椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）为椭圆上的点，点P是椭圆T上的任意一点，A是椭圆的左顶点，F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值是（　　）

• A． 8
• B． 12
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 通过将点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程，结合离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$计算可得椭圆方程，进而利用向量数量积运算的坐标表示，利用配方法求最值即得结论．

解答 解：依题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆T方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
则A（-2，0），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设P（x，y），记t=$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
则t=（-2-x，-y）•（-$\sqrt{3}$-x，-y）+（-2-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）
=（2+x）（$\sqrt{3}$+x）+y²+（2+x）（x-$\sqrt{3}$）+y²
=2x（x+2）+2y²
=2x²+4x+2y²
=2x²+4x+2（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$）
=$\frac{3}{2}$x²+4x+2
=$\frac{3}{2}$$（x+\frac{4}{3}）^{2}$-$\frac{2}{3}$，
又∵-2≤x≤2，
∴当x=2时，t取最大值，且t_max=$\frac{3}{2}$•$（2+\frac{4}{3}）^{2}$-$\frac{2}{3}$=16，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆方程，向量数量积，配方法求最值问题，注意解题方法的积累，属于中档题．