Question

10．已知数列{a_n}中，a₃=5，a₂+a₆=14，且2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n-（-1）ⁿn，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₂₁．

Answer 1

分析 （I）由2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比数列，可得$（{2}^{{a}_{n+1}}）^{2}$=2${\;}^{{a}_{n}}$•2${\;}^{{a}_{n+2}}$，可得2a_n+1=a_n+a_n+2．利用等差数列的通项公式可得a_n．
（II）利用“错位相减法”、等差数列等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比数列，∴$（{2}^{{a}_{n+1}}）^{2}$=2${\;}^{{a}_{n}}$•2${\;}^{{a}_{n+2}}$，∴2a_n+1=a_n+a_n+2．
∴数列{a_n}为等差数列，设公差为d，∵a₃=5，a₅+a₆=20，
∴a₁+2d=5，2a₁+9d=20，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=a_n-（-1）ⁿn=（2n-1）-（-1）ⁿn．
设数列{（-1）ⁿn}的前n项和为S_n，
则S_n=-1+2-3+…+（-1）ⁿn．
∴-S_n=1-2+3+…+（-1）ⁿ（n-1）+（-1）ⁿ⁺¹n，
∴2S_n=-1+1-1+…+（-1）ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹n=$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$-（-1）ⁿ⁺¹n，
∴S_n=$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$+$\frac{（-1）^{n}n}{2}$．
∴T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$-$\frac{（-1）^{n}n}{2}$=n²-$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$-$\frac{（-1）^{n}n}{2}$．
∴T₂₁=21²-$\frac{-2}{4}$-$\frac{-21}{2}$=452．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．