Question

20．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0．
（Ⅰ）若方程f（x）-x=0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）当x≥2时，不等式f（x）≥2-a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）方程f（x）-x=0有唯一实数根，推出a的关系式求解即可．
（II）利用a=1，化简f（x）=x²-2x，x∈[-1，2]，通过二次函数的性质求解即可．
（Ⅲ）解法一、当x≥2时，不等式f（x）≥2-a恒成立，推出$a≥\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$在区间[2，+∞）上恒成立，设$g（x）=\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结论．
解法二，当x≥2时，不等式f（x）≥2-a恒成立，x≥2 时，f（x）的最小值≥2-a，当a＜0时，当a＞0时，通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围．

解答 （本小题共13分）
解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x²-2x）…（2分）
（ I）方程f（x）-x=0有唯一实数根，
即方程ax²-（2a+1）x=0有唯一解，…（3分）
∴（2a+1）²=0，解得$a=-\frac{1}{2}$…（4分）
∴$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$…（5分）
（II）∵a=1
∴f（x）=x²-2x，x∈[-1，2]
若f（x）_max=f（-1）=3…（7分）
若f（x）_min=f（1）=-1…（9分）
（Ⅲ）解法一、当x≥2时，不等式f（x）≥2-a恒成立，
即：$a≥\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$在区间[2，+∞）上恒成立，…（10分）
设$g（x）=\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$，
显然函数g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，…（11分）
g_max（x）=g（2）=2…（12分）
当且仅当a≥g_max（x）时，不等式f（x）≥2-a²在区间[2，+∞）上恒成立，
因此a≥2…（13分）
解法二、因为  当x≥2时，不等式f（x）≥2-a恒成立，
所以 x≥2 时，f（x）的最小值≥2-a…（10分）
当a＜0时，f（x）=a（x²-2x）在[2，+∞）单调递减，f（x）≤0恒成立
而2-a＞0
所以a＜0时不符合题意．                           …（11分）
当a＞0时，f（x）=a（x²-2x）在[2，+∞）单调递增，
f（x）的最小值为f（2）=0
所以 0≥2-a，即a≥2即可
综上所述，a≥2…（13分）

点评 本题考查函数恒成立，转化思想以及二次函数的性质的应用，考查分类讨论思想的应用以及计算能力．